P(x)=x4+7x3+17x2+17x+6 এবং Q(x)=x2+3x+2 দুইটি বহুপদী।

 

এসএসসি পরীক্ষার জন্য গণিত সৃজনশীল প্রশ্ন ও উত্তর

এখানে এসএসসি পরীক্ষার জন্য গণিত বিষয়ের একটি নমুনা সৃজনশীল প্রশ্ন ও তার সমাধান প্রদান করা হলো। এই প্রশ্নটি বীজগণিত অংশ থেকে তৈরি করা হয়েছে, যা শিক্ষার্থীদের অনুশীলনে সহায়ক হবে।

---

উদ্দীপক: $P(x)=x^4+7x^3+17x^2+17x+6$ এবং $Q(x)=x^2+3x+2$ দুইটি বহুপদী।

ক. Q(x) কে উৎপাদকে বিশ্লেষণ কর। খ. দেখাও যে, P(x) এর একটি উৎপাদক Q(x)। গ. P(x) কে $x+1$ দ্বারা ভাগ করলে যে ভাগশেষ থাকে, তা কোনো বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য হলে, বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয় কর। ঘ. প্রমাণ কর যে, $\frac{1}{Q(x)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}$

প্রশ্নের সমাধান

ক. $Q(x)$ এর উৎপাদকে বিশ্লেষণ:

প্রদত্ত রাশি, $Q(x)=x^2+3x+2$ $=x^2+2x+x+2$ $=x(x+2)+1(x+2)$ $=(x+1)(x+2)$

উত্তর: $(x+1)(x+2)$

---

খ. $P(x)$ এর উৎপাদক $Q(x)$ এর প্রমাণ:

'ক' থেকে পাই, $Q(x)=(x+1)(x+2)$। P(x) এর একটি উৎপাদক Q(x) হবে যদি P(x), $(x+1)$ এবং $(x+2)$ উভয় দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য হয়। অর্থাৎ, $P(-1)=0$ এবং $P(-2)=0$ হতে হবে।

এখন, $P(-1)=(-1{)}^4+7(-1{)}^3+17(-1{)}^2+17(-1)+6$ $=1-7+17-17+6$ $=24-24=0$

আবার, $P(-2)=(-2{)}^4+7(-2{)}^3+17(-2{)}^2+17(-2)+6$ $=16+7(-8)+17(4)-34+6$ $=16-56+68-34+6$ $=90-90=0$

যেহেতু $P(-1)=0$ এবং $P(-2)=0$, সেহেতু $(x+1)$ এবং $(x+2)$ উভয়ই P(x) এর উৎপাদক। সুতরাং, $Q(x)=(x+1)(x+2)$, P(x) এর একটি উৎপাদক।

(প্রমাণিত)

---

গ. বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য নির্ণয়:

P(x) কে $x+1$ দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে P(−1)।

'খ' থেকে আমরা 이미 জানি যে, $P(-1)=0$।

প্রশ্নমতে, ভাগশেষ হলো কোনো বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য। অতএব, বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য, $a=0$ একক।

কিন্তু, কোনো বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য শূন্য হতে পারে না। সম্ভবত প্রশ্নে একটি ভিন্ন ভাগশেষের কথা বলা হয়েছে অথবা এটি একটি ধারণাগত প্রশ্ন। যদি আমরা ধরে নিই যে ভাগশেষ একটি অশূন্য সংখ্যা হতো, উদাহরণস্বরূপ, যদি ভাগশেষ k হতো, তাহলে বর্গের বাহু হতো k একক।

সেইক্ষেত্রে, বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য হতো $=a\sqrt{2}=k\sqrt{2}$ একক।

যেহেতু এখানে ভাগশেষ ০, তাই তাত্ত্বিকভাবে কর্ণের দৈর্ঘ্যও ০ হবে।

তবে, যদি প্রশ্নটি হতো $P(x)$ কে $x$ দ্বারা ভাগ করলে যে ভাগশেষ থাকে, তা কোনো বর্গের বাহুর দৈর্ঘ্য হলে, বর্গক্ষেত্রটির কর্ণের দৈর্ঘ্য কত?

তাহলে সমাধানটি হতো: P(x) কে x দ্বারা ভাগ করলে ভাগশেষ হবে P(0)। $P(0)=(0{)}^4+7(0{)}^3+17(0{)}^2+17(0)+6=6$ বর্গের বাহু, $a=6$ একক। বর্গের কর্ণের দৈর্ঘ্য $=a\sqrt{2}=6\sqrt{2}$ একক।

উত্তর: প্রদত্ত প্রশ্নের আলোকে বর্গের বাহু ০ একক হওয়ায় কর্ণের দৈর্ঘ্য ০ একক।

---

ঘ. $\frac{1}{Q(x)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}$ এর প্রমাণ:

ডান পক্ষ $=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}$ $=\frac{(x+2)-(x+1)}{(x+1)(x+2)}$ $=\frac{x+2-x-1}{(x+1)(x+2)}$ $=\frac{1}{(x+1)(x+2)}$

'ক' থেকে পাই, $Q(x)=(x+1)(x+2)$। সুতরাং, $\frac{1}{Q(x)}=\frac{1}{(x+1)(x+2)}$

অতএব, বাম পক্ষ = ডান পক্ষ।

সুতরাং, $\frac{1}{Q(x)}=\frac{1}{x+1}-\frac{1}{x+2}$

(প্রমাণিত)